Trong tam giác ABC có: AE = EC và AD = DB nên DE là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó DE song song với BC hay DE song song với HF \(\Rightarrow\) EFHD là hình thang

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB∼ΔAFC(g-g)

b) Ta có: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(cmt)

nên \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)(đpcm)

Ta có: \(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)(cmt)

nên \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)(cmt)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(c-g-c)

\(a,\) Áp dụng HTL tam giác 

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AH^2=BH\cdot HC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{3600}{36}=100\left(cm\right)\\AH=\sqrt{36\left(100-36\right)}=\sqrt{36\cdot64}=6\cdot8=48\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=80\left(cm\right)\left(pytago\right)\)

\(b,\) Áp dụng HTL trong tam giác ABC,AHB và AHC, ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}AB\cdot AC=AH\cdot BC\\BH^2=AB\cdot BE\\CH^2=AC\cdot CF\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=\dfrac{AB\cdot AC}{AH}\\BE=\dfrac{BH^2}{AB}\\CF=\dfrac{CH^2}{AC}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BE\cdot CF=\dfrac{\left(BH\cdot CH\right)^2}{AB\cdot AC}=\dfrac{AH^4}{AB\cdot AC}\left(AH^2=BH\cdot HC\right)\\ \Rightarrow BE\cdot CF\cdot BC=\dfrac{AB\cdot AC}{AH}\cdot\dfrac{AH^4}{AB\cdot AC}=AH^3\left(Đpcm\right)\)

Tam giác vuông ADH và tam giác vuông AHB có góc A chung nên đồng dạng => AD/AH = AH/AB => AH² = AD.AB

cmtt ta cũng có AH² = AE.AB => AD.AB = AE. AC

Xét tam giác ABE và tam giác ACD có góc A chung và AB/AC = AE/AD (cmt)

=> tg ABE đồng dạng tg ACD (c-g-c) => góc ABE = góc ACD

đến đây bn tự cm tiếp nhé! 

cmtt ở đâu ra z bạn